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Partes de la oración en la gramática castellana, memento

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El pronombre, memento

· Cada una de las partes del canon de la misa, en que se hace conmemoración de los fieles vivos y de los difuntos.

· Hacer alguien sus -s. Detenerse a discurrir con particular atención y estudio lo que le importa

· En esta ultima acepción es con la que se debe entender el motivo de esta página

Pronombre es una parte variable de la oración que sustituye al nombre.

Hay, según la Academia, cinco clases de pronombres: personales, demostrativos, posesivos, relativos e indeterminados.

Los pronombres, ya se pongan en lugar del nombre, ya tengan carácter determinativo, como los adjetivos de esta clase, toman los mismos accidentes gramaticales que el sustantivo, o sea el género, número y caso.

Pronombres personales son aquellos que sustituyen a las personas gramaticales. Estos pronombres son los únicos que tienen verdadera declinación, o sea terminaciones distintas, según los casos.

Los pronombres personales son tres: yo, tú, él.

Yo se pone en lugar de la persona que habla; tú en lugar de aquella persona con quien se habla y él en lugar de aquella de quien se habla.

Variaciones de estos pronombres.

Yo, que es de primera persona, tiene en su declinación los cambios me, mi, conmigo.

Tú, de segunda persona, admite las variaciones te, ti, contigo.

Él, de tercera persona, admite los cambios lo, la, le, ella, se, si, consigo.

El plural de yo es nosotros, nosotras, nos.

El de tú es vosotros, vosotras, vos, os.

El de él es ellos, ellas, les, los, las.

Con los pronombres lo y ello, de carácter neutro, se suple un concepto ya expresado o sobreentendido. Ello podrá ser verdad pero no lo creo. Se lo dije y no lo comprendió.

DECLINACIÓN
Primera persona
Singular	Plural, masculino
Nominativo, yo	Nominativo, nos, nosotros
Genitivo de mí	Genitivo de nosotros
Dativo a mí o para mí, me	Dativo nos, a o para nosotros
Acusativo a mí, me	Acusativo, nos, a nosotros
Ablativo con, de, en, por, etcétera,conmigo	Ablativo con, de, en, por, sin, sobre, nosotros

El femenino, plural, se declina lo mismo que el masculino

Segunda persona
Singular	Plural Masculino
Nominativo, tú	Nominativo, vos, vosotros
Genitivo, de ti	Genitivo, de vos o de vosotros
Dativo, a ti o para ti, te	Dativo, os, a o para vos o vosotros
Acusativo, te a ti	Acusativo, os, a vos, vosotros
Vocativo, tú	Vocativo, vos, vosotros
Ablativo, con, de, en, por, etcétera,contigo	Ablativo con, de, en, por, sin,

En forma análoga se declina el plural vosotras	sobre, tras, vos o vosotros


Tercera persona, masculina
Singular	Plural
Nominativo, él	Nominativo, ellos
Genitivo, de él	Genitivo, de ellos
Dativo, a o para él, le	Dativo, a o para ellos, les
Acusativo, a él, le, lo	Acusativo, a ellos, los
Ablativo, con, de, sin, sobre, tras, etcétera, él	Ablativo, con, de, en, por, sin,

Declínese las formas femeninas ella, ellas, sirviendo de modelo las anteriores	sobre, tras, etcétera, ellos


Tercera persona neutra	Forma reflexiva de
Nominativo, ello	los pronombres se o sí
Genitivo, de ello	Genitivo, de si
Dativo, a o para ello, le	Dativo, a o para si, se
Acusativo, a ello, lo	Acusativo, se a si
Vocativo, tú	Vocativo, vos, vosotros
Ablativo, con, de, en, por, etcétera, ello	Ablativo con, de, en, por, por,
	tras, hacia, si; consigo

Pronombres demostrativos son los que señalan las personas o cosas de que se habla.

Son tres: este, ese, aquel en singular para el masculino.

Esta, esa, aquella para el singular, femenino; esto, eso, aquello para el neutro; estos, esos, aquellos, en plural, para el masculino y estas, esas, aquellas para el plural, femenino.

Todas estas palabras –exceptuando las formas neutras– tienen carácter de adjetivo determinativo si acompañan a un sustantivo, como este caballo, esa mujer, aquel hombre, esos niños, estas manzanas, etc. .

Si falta el nombre sustantivo y se suple por una de las palabras citadas, éstas toman el nombre de pronombres demostrativos.

Ejemplos: Este me comprará una’ máquina fotográfica. María y Luisa comieron juntas; ésta con más apetito que la primera. Esos son buenos amigos; aquéllos, no

Como hemos dicho que los pronombres de que hablamos señalan el lugar o situación de varias personas o cosas personificadas, concretaremos más y añadiremos: Este se aplica a lo que está más cerca de la persona que habla; ése a lo que está cerca de la persona a quien se habla y aquel a lo que está lejos de una y otra.

De cada uno de los tres pronombres demostrativos este, ese, aquel, sale un sustantivo acabado en o; esto, eso, aquello.

Pronombres posesivos son los que indican posesión o pertenencia. Sus terminaciones en masculino son: mío, tuyo, suyo, vuestro y nuestro. Y sus terminaciones femeninas: mía, tuya, suya, nuestra, vuestra.

Añadiendo una s a cada una de estas voces tendremos su plural: míos, mías, tuyos, tuyas, etc..

Las palabras mío, tuyo, suyo pierden la última sílaba cuando preceden al nombre sustantivo. Ejemplos: libro mío o mi libro; libro tuyo o tu libro; libro suyo o su libro.

Los pronombres posesivos -que siempre son genitivos por denotar posesión o pertenencia -adquieren la significación de sustantivos en la forma neutra. Lo mío lo pongo a tu disposición; lo tuyo será respetado; lo suyo ha de darse al hospital.

Son pronombres relativos aquellas palabras que hacen referencia a persona o cosa ya nombrada, llamada, antecedente.

Son pronombres relativos: que, cual, quien, cuyo y cuya. En plural cuales, quienes, cuyos y cuyas.

La palabra que es invariable y la más usada.

Así decimos el hombre que trabaja, los hombres que trabajan.

Cual y quien tienen igual terminación para el masculino y el femenino en plural. He visto tus cuadros, los cuales son muy elogiados. He visto tus labores, las cuales resultan de gran mérito. Lo que varia es el artículo que les precede.

El pronombre quien se refiere casi siempre a personas. La niña de quien te hablé ya está matriculada en el Instituto.

Siempre que sin alterar el sentido se pueda cambiar que por cual, su oficio es el de pronombre relativo. El pleito que sostienes te costará mucho dinero. La palabra que se puede sustituir por cual.

Cuyo y cuya concuerdan con la cosa poseída, no con el antecedente como se verifica con los demás pronombres relativos. Ejemplo: La lancha cuyo patrón conoces, se fué a pique.

Las expresiones el que, la que, los que, las que, lo que, se deben considerar unas veces como dos palabras distintas de significación sustantiva y otras, como una sola. En el primer caso el artículo está sustantivado y sirve de antecedente al relativo. Ejemplo: Los que no moderan sus pasiones son víctimas de sus actos. Aquí la palabra los equivale a hombres y es antecedente de que. Lo que agrada seduce. Lo, sustantivo, quiere decir la cosa o las cosas que agradan.

En el segundo caso el artículo no pierde este carácter. «La relación de las aventuras de D. Quijote de la Mancha, escrita por Miguel de Cervantes Saavedra, en la que los lectores vulgares sólo ven un asunto de entretenimiento, es un libro moral de los más notables que ha producido el ingenio humano». En la expresión la que hay un artículo y un relativo, no dos palabras de significación sustantiva.

Se llaman pronombres indeterminados aquellas palabras que hacen una referencia vaga a personas o cosas. Los principales pronombres indeterminados son: alguien, nadie, uno, alguno y ninguno. El primero equivale a alguna persona y el segundo a ninguna. Alguien viene; nadie llama.

La voz uno, además de adjetivo numeral es pronombre indeterminado. Es lo primero en el siguiente ejemplo: ¿Cuántos décimos jugaste? Uno. No está uno de broma. Aquí es uno pronombre.

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Fuentes:

Enciclopedia Pedagógica de Carles, Cargol, Pla, Ibarz y Puig

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El adjetivo, memento.

· Cada una de las partes del canon de la misa, en que se hace conmemoración de los fieles vivos y de los difuntos.

· Hacer alguien sus -s. Detenerse a discurrir con particular atención y estudio lo que le importa

· En esta ultima acepción es con la que se debe entender el motivo de esta página.

Adjetivo

La palabra adjetivo significa añadir porque añade a los nombres sustantivos la idea de cómo son las cosas y cuántas son las cosas.

Se podría definir así: una parte variable de la oración que, sirve para calificar y determinar al nombre.

Se divide el adjetivo en calificativo y determinativo.

El calificativo expresa las cualidades de los nombres a que se junta, como hombre valiente, niña encantadora, color azul.

El adjetivo determinativo expresa cantidad, número. Quedaron pocos soldados con vida; todos los alumnos aprobaron el curso; hay en el árbol más de mil naranjas. Faltaron a la lista algunos soldados.

Algunas veces un nombre califica a otro nombre, como rey-profeta, mujer-duende.

El adjetivo tiene los mismos accidentes gramaticales que el nombre, o sea género, número y caso.

Y se divide lo mismo que el sustantivo en primitivo, derivado, simple, compuesto, aumentativo, diminutivo, despectivo, etc.

Adjetivos simples son: fino, lleno, útil.

Compuestos: entrefino, relleno, inútil.

Primitivos: blanco, azul, amor.

Derivados: blanquecino, azulado, amoroso.

Verbales: amante, obediente, enamorado.

Aumentativos: feote, tragón, bribonazo.

Diminutivos: chiquito, habladorcita, santita, regordete.

Hay adjetivos de una sola terminación, como: grande, fácil, tolerable y de dos como: hermoso y hermosa, lindo y linda, pequeño y pequeña, santo y santa, roedor y roedora.

Los adjetivos de dos terminaciones son femeninos si acaban en a, como mala, negra, fea; y si son masculinos en o como rico, espantoso, bello.

Hay muchos adjetivos de una terminación que terminan en e, i, l, r, s y z. Ejemplos: amable, fiel, familiar, cortés, etc.

Los adjetivos de una sola terminación sirven para el género masculino y para el femenino. Decimos hombre cortés y mujer cortés; cinta verde y paño verde; hombre útil y mujer útil.

Entre los adjetivos determinativos, tenemos los llamados numerales, los cuales añaden al sustantivo la idea de número.

Se dividen en cardinales, ordinales, partitivos y proporcionales.

Adjetivos cardinales son los que simplemente representan el número, como uno, cinco, treinta, cien.

Ordinales son los que sirven para contar por orden, como primero, segundo, tercero, cuarto, etc.

Son partitivos los que expresan una o varias partes de un todo, como mitad, tercio, un quinto.

Proporcionales son los que contienen varias veces a otros, como duplo, triple, cuádruplo, etc.

Hay que advertir que muchos adjetivos entre ellos los numerales, pueden hacer el oficio de nombres en determinados casos.

Ejemplos: El comerciante es muy rico. Aquí, rico es un adjetivo. Un rico puede hacer bien si emplea a conciencia su dinero. En este ejemplo rico es sustantivo. El niño hizo un cinco y un nueve muy grandes. También lo son estos dos números.

Son tres los grados del adjetivo: positivo, comparativo y superlativo.

Adjetivo positivo es el que, acompañando al nombre, expresa simplemente las cualidades de las cosas, como hombre robusto, mujer elegante, palacio lujoso.

Adjetivo comparativo es el que denota comparación entre dos sustantivos.

Son pocos los comparativos en nuestra lengua: mejor, peor, superior, inferior, mayor, menor. Juan es mejor que su hermano; el lobo es peor que el perro, (solo es un ejemplo, estoy de acuerdo en que esto es una comparación desafortunada).

Pero se pueden formar adjetivos comparativos con los positivos y los adverbios tan, más, menos. Pedro es tan bueno como tú; más bueno que tú y menos bueno que tú.

Tan significa igualdad; más superioridad y menos inferioridad.

Adjetivo superlativo es el que expresa la cualidad del positivo en sumo grado.

Se forman los superlativos añadiendo al adjetivo positivo la terminación ísimo o érrimo, con alguna ligera variación de vocales en algunos casos. Ejemplos: de rico, riquísimo; de fuerte, fortísimo; de bueno, bonísimo; de libre, libérrimo.

Hay otras maneras de formar el superlativo.

Algunos ejemplos:

Bueno, mejor, optimo.

Malo, peor, pésimo.

Alto, superior, supremo.

Bajo, inferior, ínfimo.

Grande, mayor, máximo.

Pequeño, menor, mínimo.

Sabio, sapientísimo.

Fiel, fidelísimo.

Puede también formarse el superlativo con la voz muy, puesta antes del positivo, como muy rico, muy sabio, muy pobre.

En estos ejemplos se forma el superlativo con otras palabras:

La América del Norte es sumamente poderosa o muy poderosa.

El Cid fué en extremo valiente o muy valiente.

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Red Nacional Escolar del gobierno Bolivariano de Venezuela

Foto, archivo propio

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Crónica de cuatro obispos de la tierra, del desorden en el cielo, el hoyo de los infiernos y Nicanor Parra

Con las primeras luces del día, los noticiarios incrustan entre otras, la noticia de la posible retirada de los crucifijos en las aulas. Durante unos momentos, reflexiono y doy gracias, pensando que a pesar de todos los problemas que nos acucian, se está avanzando en la construcción de una sociedad cada vez mas madura. Poco después, como un jarro de agua fría, el apresurado desmentido de los portavoces del gobierno, “el tema ni se está planteando”.

Otra noticia, esta relacionada con el uso del velo en las escuelas y cierta polémica con dicho uso, enciende pasiones en los contertulios de un programa radiofónico. Recuerdo entonces lo estudiado, cuando al suscitarse el tema en las clases de Derecho Constitucional, se establecía una clara distinción entre Estado no confesional y Estado laico. Nuestro vecino del norte, ha podido establecer esa norma sin problemas, en este país sin embargo, se subvencionan las iglesias.Y como se decía en mi pueblo, luego a quejarse al maestro armero.

Al leer el correo, me encuentro una pagina en pdf que mi amigo José, un incansable navegador de la Red y viejo luchador por la libertad, me envía.

Contiene dicho archivo, la noticia, publicada en el periódico digital elplural.com, en la que Jesús Sanz Montes, al que hace poco nombraron obispo de Oviedo, arremete contra la decisión del Congreso español, de instar al Gobierno a retirar los crucifijos de las escuelas a la par que comentando la polémica decisión de los ciudadanos suizos, considera justificado decir no a los minaretes, porque lo contrario sería una manera de “desgastar la tradición cristiana en esta vieja Europa”.

Otro obispo, este actualmente de la diócesis de Alcalá de Henares, Juan Antonio Reig Pla, (hasta hace muy poco lo era de la diócesis de Cartagena), ha echado a un lado el velo con el que se cubre la Iglesia Católica española, de supuestos valores democráticos, (que a la vista de cualquier observador de la realidad no mediatizado con la propaganda religiosa de este importante grupo de presión del Estado español y que en coincidencia con el partido de la gaviota en estos últimos tiempos buscan y rebuscan en el baúl de las mas reaccionarias posturas, para opinar de cualquier tema y poner trabas al mundo real, cambiante y con los problemas generados entre otros por gentes que gustosamente militan o militarían en sus filas), ha descubierto el velo digo, dejando ver su reciente y añorado por los dirigentes, pasado franquista. En algunos países donde las dictaduras asesinas han desaparecido, llega a ser delito exhibir símbolos y banderas relacionadas con ellas. En España los llevan a un altar donde ofician los ritos litúrgicos en un Altar Mayor. Eso ha sucedido el pasado uno de diciembre, en una misa celebrada en Paracuellos de Jarama, en Madrid.

“Progres idiotas”, “bobos” o “izmierda”.

Estos son los calificativos dedica Pedro Barbadillo, el columnista y colaborador del diario Periodista Digital que dirige Alfonso Rojo y que forma parte según leo en el plural.com, del Grupo de Estudios Estratégicos (GEES), movimiento integrado por los cerebros de José María Aznar, otro gran “demócrata” y como esta noticia ha sido comentada en varios medios, el señor Barbadillo, no comprende por qué “a la izmierda le está escandalizando que el obispo Reig haya oficiado una misa”.

A estas alturas, debo advertir que respeto profundamente las distintas opciones espirituales, pero no se trata de eso el tema de hoy, es de cierta jerarquía eclesiástica, (y no solo católica), que intenta entorpecer con todos sus recursos,desde su gran influencia, el libre desarrollo democrático de nuestra sociedad, pues para muestra de lo que significan los estados confesionales, no solo tengo que acudir a la memoria de la España de la dictadura, sino que me basta con ver un simple noticiario. Y comentarios como el de Barbadillo, demuestran que no ando muy desencaminado en mis apreciaciones.

No se queda corto, el obispo auxiliar de Madrid y portavoz de la Conferencia Episcopal Española, monseñor Juan Antonio Martínez Camino, al conminar a la confesión publica y rectificación, de los parlamentarios que educados en la fé Católica y que sean practicantes de ella, voten a favor de la Ley de Salud Sexual y Reproductiva e Interrupción Voluntaria del Embarazo, impulsada por el actual gobierno de España.

Pero quien ha llegado mas lejos, al extender el castigo terrenal a las mismas puertas de la morada divina, ha sido Javier Lozano Barragán, cardenal mexicano y presidente emérito del Consejo Pontificio para los Operadores Sanitarios del Vaticano, quien ha asegurado que “los transexuales y homosexuales no entrarán nunca en el Reino de los Cielos”.

Hizo estas declaraciones en el portal online Pontifex, en ellas el prelado remitió su homofobia a San Pablo. “No lo digo yo, sino San Pablo”, remarcó.

En su opinión, “no se nace” gay, sino que esta condición es fruto de “varias causas”, entre las que destaca la educación.Tal como denuncia el blog Las caras de la homofobia, en 2004 este prelado fue preguntado acerca de la iniciativa socialista para legalizar el matrimonio gay, y su respuesta fue tajante. «Hasta a las cucarachas les dieron ahora ya rango de familia porque viven bajo el mismo techo», contestó. «Si vive un gato, un perro, dos lesbianas y todo, es una familia«, añadió.

No se libra de la homofobia de los purpurados Argentina, este país vive una polémica por la anulación del que iba a ser el primer matrimonio gay de Latinoamérica.Y como no, también un prelado ha dado doctrina, el obispo bonaerense Jorge Bergoglio. Este padre de la Iglesia, ha arremetido contra el alcalde de la capital, Mauricio Macri, por elevar el asunto al Tribunal Supremo.

Me pregunto, esos prelados, que hacen gala de valores espirituales, que a la postre resultan ser xenófobos, involucionistas y claramente fascistas, además de retrógrados, que cargan contra derechos reconocidos de la ciudadanía, como los de tomar la decisión de ser o no madre o elegir libremente su sexualidad o pareja, me pregunto digo que justificación tienen para lo que sus homólogos en Irlanda han hecho durante años.

Viene a cuento un poema de la antipoesia del genio chileno de las letras, Nicanor Parra.

Este rebelde poeta, al que Pablo Neruda comparó con Miguel Hernández y al que en la presentación de uno de sus libros dedicó entre otras, estas palabras: “………Este gran trovador puede de un solo vuelo cruzar los mas sombríos misterios o redondear como una vasija el canto con las sutiles líneas de la gracia”, ese trovador que a si mismo se define como antipoeta, un cura español, el padre Salvatierra, ejerciendo de “doctor en la ley”, hablaba de sus libros comparándolos con la basura, decía que “ ..es demasiado sucio para ser inmoral; un tarro de basura no es inmoral”.Pero el gran Nicanor, nos dejó el poema siguiente que dedico,(porque parece escrito pensando en ellos), a los cuatro obispos, con la esperanza que si realmente viven su fé, piensen que como el fraile del poema, se vean cuando les llegue el día y llamen a las puertas del cielo, que de una patada los mandan rodando al hoyo de los infiernos, (ah, de paso que se lleven al “cerebro” de los insultos).

DESORDEN EN EL CIELO

Un cura, sin saber cómo,

Llegó a las puertas del cielo,

Tocó la aldaba de bronce,

A abrirle vino San Pedro:

«Si no me dejas entrar

Te corto los crisantemos.»

Con voz respondióle el santo

Que se parecía al trueno:

«Retírate de mi vista

Caballo de mal agüero,

Cristo Jesús no se compra

Con mandas ni con dinero

Y no se llega a sus pies

Con dichos de marinero.

Aquí no se necesita

Del brillo de tu esqueleto

Para amenizar el baile

De Dios y de sus adeptos.

Viviste entre los humanos

Del miedo de los enfermos

Vendiendo medallas falsas

Y cruces de cementerio.

Mientras los demás mordían

Un mísero pan de afrecho

Tú te llenabas la panza

De carne y de huevos frescos.

La araña de la lujuria

Se multiplicó en tu cuerpo

Paraguas chorreando sangre

iMurciélago del infierno!»

Después resonó un portazo,

Un rayo iluminó el cielo,

Temblaron los corredores

Y el ánima sin respeto

Del fraile rodó de espaldas

Al hoyo de los infiernos.

Poemas y antipoemas de Nicanor Parra, (1954)

Edición de René Costa, CATEDRA- Letras Hispánicas.

Para ver los artículos mencionados, se puede visitar el periódico digital, http://www.elplural.com/,

En esta otra bitácora, El blog Disgresiones Vituales 3.0, hay una excelente relación de fotografías (de aquí he tomado una, las otras de elplural), de nazis, fascistas y sanguinarios dirigentes asesinos de pueblos del mundo, confraternizando con obispos, cardenales y hasta papas.

Y para ver los rostros de los intolerantes, este otro, Las caras de la homofobia.

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Números primos, Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo, memento.

Según el Diccionario de la Real Academia Española de la Lengua, el término memento viene del latín (memento es imperat. fut. de memini, recordar algo, acordarse de algo, acuérdate, aliqua re meminisse) y se refiere a:

Cada una de las partes del canon de la misa, en que se hace conmemoración de los fieles vivos y de los difuntos.
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Aritmética elemental, memento

Números primos

Numero primo o simple es el que sólo es divisible por sí mismo y por la unidad.

Los números primos menores que 100 son: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Hay una serie indefinida de números primos.

Número compuesto es el que tiene algún factor primo mayor que la unidad. V. g: 8, 6, 25, 30, etc.

Se dice que dos o más números son primos entre sí, cuando el único divisor común a todos ellos es la unidad. 16. 14. 25 Y 35 son primos entre sí.

Una regla para conocer si un número es primo es dividir sucesivamente por los primos 2, 3. 5. 7. 11, 13, etc., y si se llega, sin obtener cociente exacto, a un cociente entero menor que el divisor, dicho número es primo.

Por ejemplo, propongámonos averiguar, si el número 419 es primo.

Dividiéndole sucesivamente por los primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19, no hemos obtenido división exacta y el cociente ha sido siempre mayor que el divisor; seguidamente, lo dividimos por el número primo inmediato superior, 23, y hallamos el cociente entero 18, menor que el divisor, de lo que inferimos que el número 419 es primo.

Una tabla de números primos, es la reunión de todos los números primos inferiores al límite que se señale.

Máximo Común Divisor

Llamamos máximo común divisor de dos o más números, al mayor número divisor de todos ellos.

El máximo común divisor del dividendo y divisor de una división inexacta, es igual al máximo común divisor del divisor y del residuo.

Reglas para hallar el m. c. d. de dos números.

Para hallar el m. c. d. de dos números, se divide el mayor por el menor y si la división es exacta, el menor es el m. c. d. de ambos. Si queda residuo, se divide el divisor por el residuo, hasta obtener división exacta. El último divisor es el m. c. d. de los dos números.

Si, al dividir el divisor por el residuo, se llega a obtener un residuo que sea primo con el divisor, los dos números cuyo m. c. d. se busca, son primos entre sí y por tanto, su m. c. d. es 1.

Para hallar el m. c. d. de tres o más números, se halla el m. c. d. de los dos primeros; después se halla el m. c. d. del m. c. d. hallado y del tercer número; después se halla el m. c. d. del último m. c. d. y del cuarto número, y así, sucesivamente; el último m. c. d. es el de los números propuestos.

Para mayor brevedad, se toman por primeros números, los más pequeños.

Otra regla para determinar el m. c. d. de dos o más números.

Para hallar el m. c. d. de dos o más números, se descomponen en sus factores simples y se multiplican los comunes a todos ellos, entrando cada factor en el producto con una potencia igual a la en que esté en el número que menos veces lo contenga.

Ejemplos: Tomemos los mismos números de que nos hemos servido procediendo por las reglas anteriores.

1º Hallar el m.c.d. de 426 y 96.

Los factores comunes vemos que son 2 y 3 cuyas menores potencias, la 1ª de cada uno son los mismos números: luego el m.c.d.será: 2 X 3 = 6

2º Hallar el m.c.d. de 120, 615 y 36.

El único factor común a los tres números es 3, cuya menor potencia es la primera de dicho número; luego 3 es el m.c.d. de los tres números propuestos.

3º Hallar el m.c.d. de los números 225, 1215 y 5850.

Los factores comunes a los tres números dados son el 3 y el 5.

El primero entra con la potencia 2ª en el número que menos veces lo contiene y el segundo, con la potencia primera;

luego el m.c.d. será :

Mínimo Común Múltiplo

Llamamos mínimo común múltiplo, o múltiplo más simple, de dos o más números, al menor número divisible exactamente por todos ellos.

Así, el múltiplo más simple de 50 y 75 es 150; el de 3, 9 y 12 es 36.

¿Pero cómo se determina el menor múltiplo de dos números?

Pues para hallar el múltiplo más simple de dos números, se halla su m. c. d. y se multiplica el cociente por el otro número.

Si los números son primos entre sí, su m. c. d. es 1 y por tanto, su menor múltiplo es el producto de multiplicarlos entre sí.

Ejemplo, hallar el menor múltiplo de 45 y 30

El m.c.d. de dichos números es 15; su múltiplo más simple será :

Veamos ahora cómo se halla el múltiplo más simple de varios números, pues para hallar el múltiplo más simple de varios números, se halla el menor múltiplo de los primeros; luego, se halla el menor múltiplo de este menor múltiplo y del tercer número; luego, el menor múltiplo de este menor múltiplo y del cuarto número, y así sucesivamente, hasta llegar al último número.

En la práctica, se toman por primeros números los menores.

Ejemplo: Hallar el múltiplo más simple de 162, 39, 26 Y 21.

Tomemos los números menores, 26 y 2 1.

Como son primos entre sí, su menor múltiplo es 26 X 21 = 546.

Hallemos ahora, el menor múltiplo de 546 y 39.

Su m.c.d. es 39; luego su menor múltiplo será:

Hallemos ahora, al menor múltiplo de 546 y 162:

Su m.c.d. es 6; luego el menor múltiplo será:

menor múltiplo de los cuatro números propuestos.

Otra regla para determinar el múltiplo más simple de dos o más números.

Para hallar el menor múltiplo de dos o más números, se descomponen en sus factores simples y se multiplican las mayores potencias de todos esos factores simples.

Ante todo, conviene prescindir de todos aquellos números dados que sean factores de los otros, pues si se halla un número divisible por éstos, también lo será por todos sus factores.

Ejemplo: Hallar el múltiplo más simple de los números 14, 36 y 20.

Disposición:

Multiplicando las mayores potencias de los factores simples:

tenemos el múltiplo mas simple.

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