Números primos, Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo, memento.

Según el Diccionario de la Real Academia Española de la Lengua, el término memento viene del latín (memento es imperat. fut. de memini, recordar algo, acordarse de algo,  acuérdate, aliqua re meminisse) y se refiere a:

  • Cada una de las partes del canon de la misa, en que se hace conmemoración de los fieles vivos y de los difuntos.
  • Hacer alguien sus -s.  Detenerse a discurrir con particular atención y estudio lo que le importa
  • En esta ultima acepción es con la que se debe entender el motivo de esta página
Archivo Juan Francisco-Darky 4

Aritmética elemental, memento

Números primos

Numero primo o simple es el que sólo es divisible por sí mismo y por la unidad.

Los números primos menores que 100 son: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Hay una serie indefinida de números primos.

Número compuesto es el que tiene algún factor primo mayor que la unidad. V. g: 8, 6, 25, 30, etc.

Se dice que dos o más números son primos entre sí, cuando el único divisor común a todos ellos es la unidad. 16. 14. 25 Y 35 son primos entre sí.

Una regla para conocer si un número es primo es dividir sucesivamente por los primos 2, 3. 5. 7. 11, 13, etc., y si se llega, sin obtener cociente exacto, a un cociente entero menor que el divisor, dicho número es primo.

Por ejemplo, propongámonos averiguar, si el número 419 es primo.

Dividiéndole sucesivamente por los primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19, no hemos obtenido división exacta y el cociente ha sido siempre mayor que el divisor; seguidamente, lo dividimos por el número primo inmediato superior, 23, y hallamos el cociente entero 18, menor que el divisor, de lo que inferimos que el número 419 es primo.

Una tabla de números primos, es la reunión de todos los números primos inferiores al límite que se señale.

Tabla de números primos desde 1 a 590

Máximo Común Divisor

Llamamos máximo común divisor de dos o más números, al mayor número divisor de todos ellos.

El máximo común divisor del dividendo y divisor de una división inexacta, es igual al máximo común divisor del divisor y del residuo.

Reglas para hallar el m. c. d. de dos números.

Para hallar el m. c. d. de dos números, se divide el mayor por el menor y si la división es exacta, el menor es el m. c. d. de ambos. Si queda residuo, se divide el divisor por el residuo, hasta obtener división exacta. El último divisor es el m. c. d. de los dos números.

Si, al dividir el divisor por el residuo, se llega a obtener un residuo que sea primo con el divisor, los dos números cuyo m. c. d. se busca, son primos entre sí y por tanto, su m. c. d. es 1.

Ejemplo máximo común divisor

Para hallar el m. c. d. de tres o más números, se halla el m. c. d. de los dos primeros; después se halla el m. c. d. del m. c. d. hallado y del tercer número; después se halla el m. c. d. del último m. c. d. y del cuarto número, y así, sucesivamente; el último m. c. d. es el de los números propuestos.

Para mayor brevedad, se toman por primeros números, los más pequeños.

Ejemplo máximo común divisor 2
Ejemplo máximo común divisor 3

Otra regla para determinar el m. c. d. de dos o más números.

Para hallar el m. c. d.  de dos o más números, se descomponen en sus factores simples y se multiplican los comunes a todos ellos, entrando cada factor en el producto con una potencia igual a la en que esté en el número que menos veces lo contenga.

Ejemplos: Tomemos los mismos números de que nos hemos servido procediendo por las reglas anteriores.

Hallar el m.c.d. de 426 y 96.

Ejemplo máximo común divisor 4-1

Los factores comunes vemos que son 2 y 3 cuyas menores potencias, la 1ª de cada uno son los mismos números: luego el m.c.d.será: 2 X 3 = 6

Hallar el m.c.d. de 120, 615 y 36.

Ejemplo máximo común divisor 4-2

El único factor común a los tres números es 3, cuya menor potencia es la primera de dicho número; luego 3 es el m.c.d. de los tres números propuestos.

Hallar el m.c.d. de los números 225, 1215 y 5850.

Ejemplo máximo común divisor 4-3

Los factores comunes a los tres números dados son el 3 y el 5.

El primero entra con la potencia 2ª en el número que menos veces lo contiene y el segundo, con la potencia primera;

luego el m.c.d. será : clip_image002[4]

Mínimo Común Múltiplo

Llamamos mínimo común múltiplo, o múltiplo más simple, de dos o más números, al menor número divisible exactamente por todos ellos.

Así, el múltiplo más simple de 50 y 75 es 150; el de 3, 9 y 12 es 36.

¿Pero cómo se determina el menor múltiplo de dos números?

Pues para hallar el múltiplo más simple de dos números, se halla su m. c. d. y se multiplica el cociente por el otro número.

Si los números son primos entre sí, su m. c. d. es 1 y por tanto, su menor múltiplo es el producto de multiplicarlos entre sí.

Ejemplo, hallar el  menor múltiplo de 45 y 30

Ejemplo mínimo común múltiplo 1-1

El m.c.d. de dichos números es 15; su múltiplo más simple será :

clip_image002[12]

Veamos ahora cómo se halla el múltiplo más simple de varios números, pues para hallar el múltiplo más simple de varios números, se halla el menor múltiplo de los primeros; luego, se halla el menor múltiplo de este menor múltiplo y del tercer número; luego, el menor múltiplo de este menor múltiplo y del cuarto número, y así sucesivamente, hasta llegar al último número.

En la práctica, se toman por primeros números los menores.

Ejemplo: Hallar el múltiplo más simple de 162, 39, 26 Y 21.

Tomemos los números menores, 26 y 2 1.

Como son primos entre sí, su menor múltiplo es 26 X 21 = 546.

Hallemos ahora, el menor múltiplo de 546 y 39.

Ejemplo de mínimo común múltiplo 1-1

Su m.c.d. es 39; luego su menor múltiplo será:

clip_image002

Hallemos ahora, al menor múltiplo de 546 y 162:

Ejemplo de mínimo común múltiplo 1-2

Su m.c.d. es 6; luego el menor múltiplo será:

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menor múltiplo de los cuatro números propuestos.

Otra regla para determinar el múltiplo más simple de dos o más números.

Para hallar el menor múltiplo de dos o más números, se descomponen en sus factores simples y se multiplican las mayores potencias de todos esos factores simples.

Ante todo, conviene prescindir de todos aquellos números dados que sean factores de los otros, pues si se halla un número divisible por éstos, también lo será por todos sus factores.

Ejemplo: Hallar el múltiplo más simple de los números 14, 36 y 20.

Disposición:

clip_image002[11]
clip_image002[6]
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Multiplicando las mayores potencias de los factores simples:

clip_image002[13]

tenemos el múltiplo mas simple.

Páginas para saber más de aritmética:

sector matemático

Red Nacional Escolar del gobierno Bolivariano de Venezuela

Descartes 2D

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Curso de gramática española

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Ejercicios de gramática de Juan Manuel Soto Arriví

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Zona ele

Enciclopedias

https://www.britannica.com/

www.encyclopedia.com

http://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Portada

Diccionarios

https://www.rae.es/

www.elcastellano.org/miyara

https://www.diccionarios.com/

https://www.dictionary.com/

http://www.wordreference.com/es/index.htm

Texto: © documentos del autor de esta página

Fuentes:

Enciclopedia Pedagógica de Carles, Cargol, Pla, Ibarz y Puig

Fotografías:

Energías renovables y noticias sobre ellas en la Red

José Enrique como se le conoce en la Red, es un joven inquieto, preparado, con gran conocimiento de Internet, pero además con una sensibilidad social extraordinaria.

Jose Enrique Lo conocí, en mis primeras búsquedas en la red en uno de sus primeras paginas, UnMundoMejorEsPosible.es.

Su opinión, se convirtió en una de mis visitas obligadas, los temas de todo tipo en su blog, me atraían y mostraban puntos de vista e informaciones interesantes.

Posteriormente, canalizó sus inquietudes con su bitácora Ande yo libre.

A través de sus enlaces he conocido a blogs extraordinarios.

Ha sido el impulsor y coordinador de la pagina Anillo Solidario.Anillo Solidario

Ahora su impresionante activismo le ha embarcado en un proyecto interesantísimo de Noticias sobre  Energías Renovables en Internet, esta pagina quiere establecer un sistema de promoción de este tipo de energía.

aylrenovables

Invito al lector a que visite el sitio http://aylrenovables.com y conozca, comparta y escriba comentarios sobre estas energías, seguro que como yo algo aprenderá, pero sobre todo, se ayudará a popularizar y a crear una corriente favorable en la opinión publica sobre estas energías.

Esta obra se distribuye con una licencia de Creative Commons.

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Abrir un mapa es empezar una aventura

“….Se pasean por todo el mundo mirando un mapa,

sin costarles blanca ni padecer calor, ni frío, hambre  ni sed.”

–Don Quijote, Cervantes

Si el bueno de Cervantes que tanto viajo,hubiera vivido hoy, quizás no hubiera puesto en boca de su personaje esas palabras,hoy los contemporáneos del genial manco,consultarían a Google Maps,

Mapa de google los viajeros de estos tiempos,también disponen de los navegadores GPS, gps-automovil (Global Positioning System o Sistema de Posicionamiento Global, aunque su nombre correcto es NAVSTAR-GPS),que se basan en posicionamiento por satélitesgps1 ,pero no siempre ha sido así y después de todo estos sistemas requieren de conexiones a Internet o de receptores de los satélites,que no están al alcance de todo el mundo en todo momento,al final tarde o temprano recurriremos al mapa en papel.

Viajes,búsqueda de tesoros,guerras y exploraciones se presentan a la vista con sólo extenderlo.Sentados en el sillón, el mapa es como una alfombra mágica que al instante traslada la imaginación a donde se quiera ir.

Hoy día los mapas de carreteras se distribuyen sin restricciones, (basta ir a cualquier papelería para hacernos con ellos),pero en otros tiempos los mapas eran un secreto celosamente guardado; quienes los divulgaban podían ser torturados y hasta ejecutados.

Para un corsario una carta marítima capturada, podía constituir un botín más rico que el oro en barras,porque en el mundo poco conocido de entonces, bien pudiera señalar el camino a la fortuna.

Carta griega Los marinos de Tiro tenían sus rutas comerciales que ocultar; los navegantes árabes ,sus fuentes de jengibre,alcanfor, laca y seda, los españoles el oro del Nuevo Mundo; los holandeses, su monopolio de especias de la Indias Orientales.

1562

Los mapas que Colón y Magallanes trazaron de sus viajes inmortales fueron escondidos en el Archivo de Indias, en Sevilla, pero despertaron tal codicia que mediante el soborno y el robo desaparecieron misteriosamente muchos.

Allá por el siglo XVII la Compañía de Indias Orientales Holandesas imprimió 180 planchas con las rutas de navegación a la India, el Estrecho de Malaca,China y Japón (donde todos los mapas estuvieron durante muchísimo tiempo prohibidos a los extranjeros), pero este Atlas Secreto fue destinado al uso exclusivo de los capitanes de la empresa.En aquella época había en Holanda grandes maestros cartógrafos como Mercator, Jansson o los libros de la casa  Blaeu, que estuvo en activo durante los años 1618-72 y cobró fama por sus grandes atlas geográficos.LGA-6

Hoy la cartografía es actividad internacional,además de los mapas políticos y físicos, los hay del fondo del océano,así como de las cavernas para los espeleólogos;mapas de rutas aéreas y otros para los automovilistas.

Pero nada se puede comparar a un buen atlas,desde él podemos viajar a todos los lugares que tal vez nunca veamos. las antiguas ciudades de Estambul, Samarkanda, El Cairo; ríos de epopeya como el Niger, el Indo y el Tigris; la Costa de Oro, la Costa de Marfil,las Isla de Barlovento y Sotavento…nombres todos que suenan a música.

Los griegos de la antigüedad fueron de los primeros en preguntarse cuál sería la forma del mundo en su conjunto y en representarlo.Claudio Tolomeo,astrónomo y geógrafo greco-egipcio, terminó su gran atlas alrededor del año 150 de nuestra era.En el mostró que Grecia no era el centro del mundo como suponían los griegos anteriores,trazo un mapa de Europa hasta Dinamarca y la Islas Shetland  al norte,hacia el sur bosquejó gran parte de África y hacia el este una extensa región que denomino la India.

Durante la Edad Media se perdió mucha de la cultura clásica .Los monjes medievales aunque jamás salieran de sus claustros,hicieron mapas del mundo que basaban exclusivamente en su fe religiosa.Era habitual que Jerusalén fuera el centro.En esos mapas se colocaba arriba el Este,pues suponían que allí estaba el Paraíso.Como la Biblia hablaba de “los cuatro rincones de la tierra”,se acepto por algunos cartógrafos que esto significaba que el mundo era cuadrado y así lo trazaron,adornándolo además con monstruos que pensaban que habitaban en esas lejanas regiones.

Fueron las peregrinaciones, el viaje de Marco Polo a China,las Cruzadas,los viajes de los exploradores portugueses en busca de una ruta de navegación a las Indias alrededor de África,quienes contribuyeron a extender los límites del mundo conocido.

Podría ser el de Juan de la Cosa, uno de los capitanes de Colon,que pinto sobre el 1500 180px-1500_map_by_Juan_de_la_Cosa en cuero de buey,un rudimentario mapa,el primero sobre los nuevos descubrimientos.Sobre 1506 aparece el primer mapa impreso del Nuevo Mundo,queda solo un ejemplar en el Museo Británico.

cartografia003 En 1891 el geógrafo vienes Alberto Penck propuso por primera vez un mapa internacional del mundo,trazado en escala única y con un solo sistema de símbolos.

La avanzada cartografía de hoy,dotada de una racionalidad y medios técnicos inigualables en toda la historia de la humanidad es una verdadera disciplina científica.Desprovista del lastre que suponía la obligada sumisión a las ideologías o credos del pasado,supone uno de los mejores de los logros del genero humano.globe

En los mapas actuales se sigue representando a Europa en el centro y a el continente asiático en el Este y a el continente americano al Oeste,pero esto no es mas que una convención basada en el pasado imperial europeo y después continuada con la asignación del meridiano 0 en la Punta de la Orchilla en 1634 por los franceses,mas adelante en 1884 en una conferencia internacional adoptó como meridiano inicial el que pasaba por un antiguo observatorio astronómico que estaba en Grenwich en los suburbios de Londres Real Observatorio Astronomico .

Si probáis a mirar los mapas de otra manera, en el que ya no esté el continente americano en el Oeste, os podéis llevar la sorpresa de casi no reconocer el país donde vivimos.mapa mundi 1a Clip

Según una definición,(Joly,F.,1982) un mapa es “una representación geométrica plana,simplificada y convencional,de toda o una parte de la superficie terrestre,con una relación de similitud proporcionada,a la que llamamos escala”.

Hay un problema en cuanto a la forma real de la superficie terrestre,nuestro planeta no es un esfera exacta,pues con la forma achatada por sus polos,se asemeja mas a un elipsoide en revolución.ecuador Para hacer los mapas se utilizan las proyecciones que consisten en pasar al plano la red de meridianos y paralelos.Se podrían clasificar en cuatro grandes grupos: cenitales,cónicos,cilíndricos (entre los que destaca la proyección de Mercator) y otras utilizadas en los mapas mundi,(como la homolografica (o de Mollweide),la sinusoidal y la homolosena.

La proyección de Mercator,(también llamada UTM o Universal Transversa de Mercator),que de sobra conocemos desde la escuela,es uno de los sistemas de representación mas utilizados en mapas,proyeccion Mercator se basa en el sistema ideado por el cartógrafo,en el que los meridianos y paralelos se proyectan sobre la superficie de un cilindro que envuelve a la Tierra con el eje paralelo al eje Norte-Sur geográfico,al pasar el cilindro a un plano, los ángulos con que se cortan los meridianos y paralelos se conservan en 90º pero da como resultado una deformación que aumenta según se aleja uno del ecuador,al punto de que Groenlandia aparece más grande que América del Sur,que en realidad es ocho veces mayor.

Pues bien,de vez en cuando deberíamos abrir un buen Atlas y soñar como lo hacían los contemporáneos de Cervantes en sitios exóticos y aventuras extraordinarias,que eso no cuesta dinero y es un buen medio para viajar (aunque solo sea con la imaginación).

Para buscar mapas:

http://maps.nationalgeographic.com/maps

http://www.sitesatlas.com

http://www.mapsofworld.com

http://www.mapred.com/es/index.htm

Fuentes:BIOGRAFIA DE MARCO POLO Lola Fonseca ,GEOLOGÍA PRÁCTICA Manuel Pozo,Javier González y Jorge Giner,THE CHARM OF THE MAPS Donald Culross ,SISTEMAS DE INFORMACIÓN GEOGRAFICA José Miguel Santos Preciado,HISTORIA DE LA CARTOGRAFIA PAX CELTIBERA, HISTORIA,CARTOGRAFIA mgar.net

Fotografías:ahguarosario.wordpress.com, Google Maps,Taringa, Paisajes perfectos, Profesor en línea,para náuticos.com

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Tengo vista cansada

Traigo hoy al CRISOL DE LA CORDURA, algo que hace unos años me ocurrió. Acostumbraba a leer en la cama antes de dormir, y cada vez tenía que extender mas los brazos.  Un dia mi amigo Pepe, me contaba que teniendo el mismo problema,había ido a graduarse la vista y me mostró las gafas graduadas recién adquiridas,¡pruébatelas!–me dijo–y así lo hice, en ese momento se me iluminó el mundo.Inmediatamente fui a graduarme, ahora hacen diez años y desde entonces he vuelto regularmente al oculista. Ya comprendereis que tenía el llamado “síndrome de vista cansada” ó Presbicia. Viene esto a cuento de una página americana,

con entradas en español, que recomiendo visitar, en donde muchas de las enfermedades de la vista, comunes a todos, tienen una clara explicación y recomendaciones para la buena visión durante toda la vida.

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Tomar caldo de pollo mejora el dolor de rodillas.

¿Te duelen las rodillas?,me pregunto mi amigo Joaquin,pues yo me estoy infiltrando ácido hialuronico y después de unos meses, estoy bastante bien.Este comentario me incentivo a saber mas de él,hasta descubrí,que el caldo de pollo tan popular en nuestros hogares,

contiene una cantidad de acido hialuronico,este compuesto que cada vez se emplea mas en medicina estética, tiene además unas propiedades contra la artrosis sintomática de la rodilla. Ácido hialurónico (también llamado Hyaluronan) es un componente del tejido conectivo, cuya función es lubricar y amortiguar.

Algunos lo han llamado “la clave para la eterna juventud” porque se ha observado que al menos algunas personas que ingieren mucho de él en sus dietas tienden a vivir a edades muy longevas. Hay una noticia de ABC News que habla de una aldea en Japón y el ácido hialurónico, titulado “La Aldea de Larga Vida” en él se señala que este se obtiene de la raíz de verduras

incluidas en sus dietas naturales: satsumaimo, un tipo de boniato ó batata; satoimo, una especie de patata ó rábano blanca; konyaku, un tubérculo gelatinoso muy utilizado en el Pais Nipon, é imoji , otra raíz y desde luego no tomaban ningún otro tipo de suplemento.

Otra fuente de ácido hialurónico sería la de comer partes de animales que se sabe que contienen una gran cantidad de ácido hialurónico.Una propuesta, haz un caldo para la sopa de cocido con partes de animales que contengan una gran cantidad de piel, tendones y articulaciones. Este alimento parece ser muy válido para los dolores de la fibromialgia.Aunque hay que tener cuidado si se come demasiado porque la presión arterial se eleva, lo que es interesante, porque la gente con trastornos del tejido conectivo por lo general tienen baja la presión arterial.(Doy por supuesto que se sabe la diferencia entre caldo y sopa, pues el caldo es el resultado de una cocción ó reducción lenta de carne, huesos ó verduras, que luego pueden ser descartados y sopa, que se puede preparar con un caldo y que ya contiene sólidos como fideos, verduras etc., y es lo que luego vamos a presentar en la mesa).

Volviendo al ácido hialuronico, es muy conocido su uso en la medicina deportiva para el tratamiento de esguinces,en la cirugía oftalmológica, también lo utilizan en los caballos de carreras lesionados, además de que la infiltración intraarticular en el liquido sinovial de rodilla del acido hialuronico, puede disminuir los síntomas de esta patología, dicha mejoría aparece generalmente tras la tercera infiltración.

Actualmente es muy utilizado en la cosmética y la medicina estetica, por sus propiedades regenerativas de la piel.

Empieza a producirse en la industria dado su valor económico pues un kilo cuesta alrededor de unos 6000€ y por ejemplo en el Instituto de Investigaciones Marinas de Vigo del CSIC,ya se trabaja en el desarrollo de métodos para reciclar subproductos como intestinos, ojos,pieles ó hígados de pescado que hasta ahora eran desechos.




Y por ultimo una curiosidad, las aletas de tiburón y las crestas de gallos, que en mi niñez eran un plato muy apreciado, tienen una gran concentración de ácido hialuronico.

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“Doctor,me duermo al volante”

Cuando pronuncié esas palabras en la consulta de la unidad de trastornos del sueño, ya sospechaba que mis síntomas eran de una enfermedad de la que muchas veces había oído hablar, la apnea del sueño ó como dicen los profesionales Sindrome de Apnea-Hipopnea del Sueño (SAHS).

Hasta entonces no me había decidido a consultar a un profesional médico de mis problemas con el sueño y yo no soy precisamente un trasnochador ni un insomne.

Dolores de cabeza, un dia si y otro también, el dormirme en cualquier parte daba igual que fuera una conferencia que en la espera del autobús, pero lo peor era cuando me ponía al volante enseguida me daba sueño, me dormía frente al ordenador en el trabajo ó en casa, bueno un desastre y hasta ahora no he contado los sufrimientos de los que me oían los ronquidos de noche.

Pues bien ya llevo dos años de tratamiento (después que previa poligrafía respiratoria y los test correspondientes se me diagnosticara la enfermedad) y me siento de maravilla cuando al despertar noto que ha hecho efecto el descanso.Y el tratamiento (aparte de unas recomendaciones ,perder peso,dejar de fumar etc.) que por otra parte no he seguido al pie de la letra,consiste en el uso de una maravillosa maquinita llamada CPAP.Es la que me ha salvado la vida,lo aseguro.

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